今から固定返済への変更は出来ない！？

たんぽぽさんの現状（ローンの内容等）をもう少しお伺いしないと明確な回答はできませんが、現状の住宅ローン契約書に他の条件変更等の縛りがあるかどうか確認してみてください。
また、たんぽぽさんが相談窓口で言われた理由である「契約しているものですから・・・」だけでは確かに不足です。
たんぽぽさんが住宅ローンの金利が高いと感じていらっしゃるようでしたら、「同じ金融機関で条件変更を希望する場合」や「他の金融機関で借り換える」など他の方法も検討の上、手続きやコストも踏まえて最終的に決定することをオススメします。

今後長期に渡る他のライフイベントの確認も必要でしょう。